Question

（本小題滿分14分）

     已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(Ⅲ) 當(dāng)且時(shí)，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的取值范圍為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，.

(Ⅲ)見解析.

【解析】（I）求函數(shù).的導(dǎo)數(shù)，注意定義域，令導(dǎo)函數(shù)大于或等于0，分離參數(shù)，令一端配方求出最值即得的范圍；（II）由（Ⅰ）可知： 時(shí)，，（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），令，則取兩邊分別相加整理即得結(jié)論；（III）由（2）知，當(dāng)，令求導(dǎo)可得最小值，所以時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），令，則，所以,,因而可得,所以, 所以,然后不等式累加證明即可.

 

（Ⅰ），函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415295869813412/SYS201208241530439393570337_DA.files/image002.png">.

.

依題意，在恒成立，在恒成立.

，

，∴的取值范圍為.   ……………………………………………………… （4分）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，.

證明：當(dāng)時(shí)，欲證 ，只需證.

由（Ⅰ）可知：取，則，

而，（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.

用代換，得，即，

∴.

在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.

∴當(dāng)時(shí)，.        ………………………………………… （9分）

(Ⅲ)由（Ⅱ）可知（時(shí)，等號(hào)成立）.

而當(dāng)時(shí)：，∴ 當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，則，

∴在上遞減，在上遞增，

∴，即在時(shí)恒成立.

故當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.    ……  ①

用代換得： （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.     …… ②

當(dāng)時(shí)，由①得，.

當(dāng)時(shí)，由②得 ，用代換，得.

∴當(dāng)時(shí)，，即.

在上式中分別取，并將同向不等式相加，得.

故當(dāng)且時(shí)，.    …………………………………………………（14分）