Question

【題目】已知a，b，c均為正數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣b|﹣|x+c|+a，x∈R．

（1）若a＝2b＝2c＝2，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若函數(shù)f（x）的最大值為1，證明：．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)a＝2b＝2c＝2時(shí)，將不等式f（x）＜3化為|x﹣1|﹣|x+1|＜1，然后利用零點(diǎn)分段法解不等式即可；

（2）根據(jù)條件利用絕對(duì)值三角不等式，可得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式，即可證明．

（1）當(dāng)a＝2b＝2c＝2時(shí)，a＝2，b＝c＝1

不等式f（x）＜3化為|x﹣1|﹣|x+1|＜1，

當(dāng)x≤﹣1時(shí)，原不等式化為1﹣x+1+x＜1，解集為；

當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，原不等式化為1﹣x﹣x﹣1＜1，解得；

當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式化為x﹣1﹣x﹣1＜1，解得x≥1，

∴不等式f（x）＜3的解集為．

（2）∵

又∵a，b，c＞0，

∴

∴

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

∴．