Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個(gè)命題：
①對(duì)任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②對(duì)任意的x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）＜x2-x₁；
③對(duì)任意的x₁、x₂∈（e，+∞），且x₁＜x₂，有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④對(duì)任意的0＜x₁＜x₂，總有x₀∈（x₁，x₂），使得f（x0）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正確的是

 

（填寫序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式判斷①；
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-lnx（x＞1），利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性后判斷②；
構(gòu)造函數(shù)函數(shù)t（x）=

lnx

x

（x＞e），利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性后判斷③；
取兩個(gè)特殊的x₁，x₂，求出

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的范圍后判斷④．

解答： 解：f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，
對(duì)于①，由f（

x1+x2

2

）=ln(

x1+x2

2

)，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(lnx1+lnx2)=ln

x1x2

，
∵

x1+x2

2

≥

x1x2

，∴f（

x1+x2

2

）≥

f(x1)+f(x2)

2

，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)函數(shù)g（x）=x-lnx（x＞1），g′(x)=1-

1

x

＞0，
∴g（x）=x-lnx在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，則有x₂-lnx₂＞x₁-lnx₁，即f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，命題②正確；
對(duì)于③，令函數(shù)t（x）=

lnx

x

（x＞e），t′(x)=

1-lnx

x2

＜0，
∴t（x）為（e，+∞）上的減函數(shù)，
由x₂＞x₁＞e，得

lnx1

x1

＞

lnx2

x2

，即x₁f（x₂）＜x₂f（x₁），命題③正確；
對(duì)于④，令e=x₁＜x₂=e²，得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lne-lne2

e-e2

=

1

e2-e

＜1，
∵x₀∈（x₁，x₂），∴f（x₀）＞f（x₁）=1，不滿足f（x0）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，命題④錯(cuò)誤．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．