Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=3b_n-a₁．
（1）求a_n，b_n；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，求c_n=

4bn+1

bn-1

的最小值與最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)，求出公差，可求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{b_n}是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（2）分類討論，求出c_n=

4bn+1

bn-1

的最小值與最大值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
∴a₁+a₃+a₅=21，a₂+a₄+a₆=27，
∴3a₃=21，3a₄=27，
∴a₃=7，a₄=9，
∴d=2，
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n+1，
∴a₁=3，
∴4S_n=3b_n-3，①
n=1時(shí)，4S₁=3b₁-3，
∴b₁=-3，
n≥2時(shí)，4S_n-1=3b_n-1-3②，
∴①-②整理得b_n=-3b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=（-3）ⁿ；
（2）c_n=

4bn+1

bn-1

=4+

5

(-3)n-1

，
n為奇數(shù)時(shí)，c_n=4-

5

3n+1

，
∵3ⁿ+1≥4，（n=1時(shí)取等號(hào)）
∴

11

4

≤4-

5

3n+1

＜4，
n為偶數(shù)時(shí)，c_n=4+

5

3n-1

，
∵3ⁿ-1≥8，（n=2時(shí)取等號(hào)）
∴4＜4+

5

3n-1

≤

37

8

，
綜上，

11

4

≤c_n≤

37

8

，c_n≠4，
∴c_n=

4bn+1

bn-1

的最小值

11

4

，最大值是

37

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列于等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．