Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題：
①D₁P∥平面A₁BC₁； 
②D₁P⊥BD；
③平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
④三棱錐A₁-BPC₁的體積不變．
則其中所有正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①根據(jù)線面平行的判斷定理進行判斷D₁P∥平面A₁BC₁； 
②D利用特殊值法即可判斷D₁P⊥BD不成立；
③根據(jù)面面垂直的判斷條件即可判斷平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
④將三棱錐的體積進行等價轉(zhuǎn)化，即可判斷三棱錐A₁-BPC₁的體積不變．

解答： 解：①∵在正方體中，D₁A∥BC₁，D₁C∥BA₁，且D₁A∩DC₁=D₁，
∴平面D₁AC∥平面A₁BC₁；
∵P在面對角線AC上運動，
∴D₁P∥平面A₁BC₁；∴①正確．
②當(dāng)P位于AC的中點時，D₁P⊥BD不成立，∴②錯誤；
③∵A₁C₁⊥平面BDD₁B₁；∴A₁C₁⊥B₁D，
同理A₁B⊥B₁D，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁，
∴平面BDD₁B⊥面ACD₁，
∴平面PDB₁⊥平面A₁BC₁；
∴③正確．
④三棱錐A₁-BPC₁的體積等于三棱錐B-A₁PC₁的體積．
△A₁PC₁的面積為定值

1

2

A1C1•AA1，
B到平面A₁PC₁的高為BP為定值，
∴三棱錐A₁-BPC₁的體積不變，∴④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的位置關(guān)系的判斷，綜合考查學(xué)生的推理能力，綜合性較強，難度較大．