Question

3．已知函數(shù)f（x）=-x²-6x-3，g（x）=$\frac{{e}^{x}+ex}{ex}$，實數(shù)m，n滿足m＜n＜0，若?x₁∈[m，n]，?x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則n-m的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用導數(shù)法可得當x=1時，g（x）取最小值2，由f（x）=-x²-6x-3在x=-3時，取最大值6，令f（x）=2，則x=-5，或x=-1，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：∵g（x）=$\frac{{e}^{x}+ex}{ex}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{e{x}^{2}}$，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故當x=1時，g（x）取最小值2，
由f（x）=-x²-6x-3在x=-3時，取最大值6，
令f（x）=2，則x=-5，或x=-1，
作兩個函數(shù)的圖象如圖所示：

由圖可得：n-m的最大值為-1-（-5）=4，
故選：A

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．