Question

已知奇函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，若f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0對任意θ∈[-

π

3

，

π

3

]恒成立，則實數(shù)m的范圍為（　　）

• A、-

  3

  8

  ＜m＜0
• B、m＞-

  3

  8

• C、m＞0
• D、m＞1

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運用奇函數(shù)和增函數(shù)的定義可得f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0即為2mcosθ+m＞-sin²θ，令t=cosθ，（

1

2

≤t≤1），即有m＞

t2-1

2t+1

，運用導數(shù)求得右邊的單調(diào)性，進而得到最大值，即可得到m的范圍．

解答： 解：由于奇函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
即有f（-x）=-f（x），
f（sin²θ）+f（2mcosθ+m）＞0即為
f（2mcosθ+m）＞-f（sin²θ）=f（-sin²θ），
即有2mcosθ+m＞-sin²θ對任意θ∈[-

π

3

，

π

3

]恒成立．
令t=cosθ，（

1

2

≤t≤1），
即有m＞

t2-1

2t+1

，
由于（

t2-1

2t+1

）′=

2t(2t+1)-2(t2-1)

(2t+1)2

=

2(t2+t+1)

(2t+1)2

＞0恒成立，
即有

t2-1

2t+1

在

1

2

≤t≤1上遞增，
t=1時，取得最大值為0，
則有m＞0，
故選C．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，主要考查不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，同時考查運用導數(shù)判斷單調(diào)性求最值，運用換元和三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．