Question

12．如圖，在四面體ABCD中，AB=CD=2，AB與CD所成的角為45°，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在棱EC，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是1．

Answer 1

分析 利用線面平行的性質(zhì)可證HG∥AB，同理EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，可證四邊形EFGH為平行四邊形．又利用AD=BD，AC=BC的對(duì)稱性，可知AB⊥CD，可得四邊形EFGH為矩形．建立二次函數(shù)關(guān)系求解四邊形EFGH面積的最大值．

解答 解：∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，
∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，
所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵AD=BD，AC=BC的對(duì)稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．
設(shè)BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2x，HG=2（1-x），
S_EFGH=FG×HG=4x（1-x）．
=-4（x-$\frac{1}{2}$）²+1，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：S_EFGH面積的最大值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四面體ABCD中的對(duì)稱性來證明四邊形是矩形．同時(shí)考查了動(dòng)點(diǎn)的問題以及靈活性的運(yùn)用．屬于中檔題．