Question

2．設(shè)奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是減函數(shù)且最大值為-5，函數(shù)g（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，其中a＜$\frac{1}{2}$．
（1）判斷并用定義法證明函數(shù)g（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）分別求出f（x）和g（x）的最小值，求出F（x）的最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）在（-2，+∞）上是減函數(shù)，
證明如下：
設(shè)-2＜x₁＜x₂，
∵g（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
∴g（x₂）-g（x₁）
=（a+$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$）-（a+$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$）
=（1-2a）•$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＜0，
∵a＜$\frac{1}{2}$，∴g（x₂）＜g（x₁），
∴a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）在（-2，+∞）遞減；
（2）由題意得：f（x）_max=f（-7）=-5，且f（x）是奇函數(shù)，
∴f（7）=5，即f（x）在區(qū)間[3，7]上的最小值是5，
由（1）得：g（x）在[3，7]上也是減函數(shù)，
∴F（x）_min=f（7）+g（7）=$\frac{7a+46}{9}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．