Question

已知函數．
（1）證明f（x）在（1，+∞）上是減函數；
（2）當x∈[3，5]時，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

（1）證明：設1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）===
∵x₁＞1，x₂＞1，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數．
（2）解：∵[3，5]⊆（1，+∞），∴f（x）在[3，5]上是減函數，
∴f（x）_max=f（3）=2，f（x）_min=f（5）=1.5．
分析：（1）利用單調性的證題步驟：取值、作差、變形定號、下結論，即可證得；
（2）確定f（x）在[3，5]上是減函數，即可求f（x）的最小值和最大值．
點評：本題考查函數單調性的證明，考查函數的最值，掌握單調性的證題步驟是關鍵．