Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，D為BB₁的中點(diǎn)．
①證明：平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁；
②求點(diǎn)B到平面的距離ADC₁；
③求平面ADC₁與平面ABC所成的二面角大小．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥BC，建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．
（2）求出平面ADC₁的法向量

n

，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離ADC₁為d，由d=

| n • BA |

| n |

能求出結(jié)果．
（3）分別求出平面ABC的法向量和平面ADC₁的法向量，利用向量法能求出平面ADC₁與平面ABC所成的二面角的大�。�

解答： （1）證明：∵A1A=AC=

2

AB，AB=BC=a，
∴AB²+BC²=AC²，由勾股定理知AB⊥BC，
則如圖所示建立直角坐標(biāo)系，由題意知坐標(biāo)分別為：B(0，0，0)，A(0，a，0)，C(a，0，0)，B1(0，0，

2

a)，A1(0，a，

2

a)C1(a，0，

2

a)
∵D₁，E分別是BB₁，AC₁之中點(diǎn)．
∴D(0，0，

2

2

a)，E(

a

2

，

a

2

，

2

2

a)，
∴

DE

=(

a

2

，

a

2

，0)，

CC1

=(0，0，

2

a），

AC1

=(a，-a，

2

a)，
∵

DE

•

AC1

=0，

DE

•

CC1

=0，
∴DE⊥AC₁，DE⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C₁，∴DE⊥面A₁ACC₁，
∵DE?平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥面A₁ACC₁．…（4分）
（2）解：設(shè)平面ADC₁的法向量

n

=(x1，y1，z1)，
且

AD

=(0，-a，

2

2

a)，

AC1

=(a，-a.

2

a)，
∴

AD • n =-ay1+ 2 2 az1=0 AC1 • n =ax1-ay1+ 2 az1=0

，
∴

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），又∵

BA

=(0，a，0)，
設(shè)點(diǎn)B到平面的距離ADC₁為d，
則d=

| n • BA |

| n |

=

2 2 a

1 2 + 1 2 +1

=

1

2

a．
∴點(diǎn)B到平面ADC₁的距離為

1

2

a．…（8分）
（3）解：∵平面ABC的法向量為

m

=（0，0，1），
平面ADC₁的法向量

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

1× 1 2 + 1 2 +1

=

2

2

，
平面ADC₁與平面ABC所成的二面角為

π

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查平面與平面所成二面角的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．