4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{ax}{{{x^2}+1}}(x∈R)$,如圖是函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的圖象.
(1)求a的值,并判斷函數(shù)的奇偶性補充作出函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的圖象,說明作圖的理由;
(2)根據(jù)圖象指出(不必證明)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域;

分析 (1)由f(1)=$\frac{a}{2}$=2,求得 a的值,可得f(x)的解析式.
(2)結(jié)合f(x)的圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及值域.

解答 解:(1)由函數(shù)$f(x)=\frac{ax}{{{x^2}+1}}(x∈R)$在[0,+∞)上的圖象,可得f(1)=$\frac{a}{2}$=2,∴a=4,f(x)=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$.
由函數(shù)的解析式可得f(x)為奇函數(shù),它的圖象關(guān)于原點對稱,
由此可得它在R上的圖象.
(2)結(jié)合f(x)的圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為(-1,1),減區(qū)間為(-∞,-1)、(1,+∞).
函數(shù)的值域為[-2,2].

點評 本題主要考查奇函數(shù)的解析式,函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,函數(shù)的值域,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若在極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為(4,$\frac{π}{3}$),判斷點P與直線l的位置關(guān)系;
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