Question

橢圓C的中心在坐標原點焦點在x軸上，右焦點F的坐標為（2，0），且點F到短軸的一個端點的距離是

6

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F作斜率為k的直線l，與橢圓C交于A，B兩點，若

OA

•

OB

＞-

4

3

，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由右焦點F的坐標為（2，0），且點F到短軸的一個端點的距離是

6

．可得c=2，a=

6

，再利用b²=a²-c²=2即可得出．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=k（x-2）．與橢圓的方程聯(lián)立可得：（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，利用根與系數(shù)的關系即可得出

OA

•

OB

，進而解出．

解答： 解：（I）設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由右焦點F的坐標為（2，0），且點F到短軸的一個端點的距離是

6

．
可得c=2，a=

6

，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=k（x-2）．
聯(lián)立

y=k(x-2) x2+3y2=6

，化為（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
則x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=k²[

12k2-6

1+3k2

-

24k2

1+3k2

+4]=-

2k2

1+3k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，
解得k2＞

1

3

，
∴k的取值范圍是(-∞，-

3

3

)∪(

3

3

，+∞)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量的數(shù)量積運算、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．