如圖，與是均以為斜邊的等腰直角三角形，，分別為，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

【答案】

（1）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082813095451314080/SYS201308281313008752391902_DA.files/image002.png">正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)，平面的法向量為，，所以，所以平面（2）

【解析】

試題分析：以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082813095451314080/SYS201308281313008752391902_DA.files/image002.png">正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù),則

設(shè)平面的法向量為

則，令，則

所以，所以，所以平面．

⑵平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，又，則，令，則

設(shè)二面角的平面角為，則

又由圖易知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為

考點(diǎn)：空間線面平行的判定及二面角的求法

點(diǎn)評(píng)：本題中利用兩兩垂直，空間坐標(biāo)系較容易建立，因此只需根據(jù)線段長(zhǎng)度找到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)判定位置關(guān)系或求角

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江蘇省啟東中學(xué)2010年高三適應(yīng)性考試 題型：解答題

 

某廣告公司為2010年上海世博會(huì)設(shè)計(jì)了一種霓虹燈，樣式如圖中實(shí)線部分所示. 其上部分是以為直徑的半圓，點(diǎn)為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，. 現(xiàn)在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈. 若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長(zhǎng)度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為，節(jié)能燈的比例系數(shù)為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.

（Ⅰ）試將表示為的函數(shù)；

（Ⅱ）試確定當(dāng)取何值時(shí)，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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