Question

【題目】在一個的方格表的每個方格內填入1或，如果任意一格內的數都等于與它有公共邊的那些方格內所填數的乘積，則稱這種填法是“成功”的.求“成功”填法的總數.

Answer 1

【答案】1

【解析】

假設存在某種成功填法，其中含有.

首先證明：若此種成功填法關于中間一列（行）對稱，則中間一列（行）全為1.

設，.若，由，得.

同理，，…，.

若，同理可得.

因此，若，則.這樣，，，，，，，…，，，.從而，矛盾.

因此，中間一列（行）全為1.

其次，若此種成功填法不關于中間一列對稱，先將此種填法沿中間一列翻轉，得另一種填法，再將兩種填法處于相同位置的數相乘，就得到關于中間一列對稱的成功填法，其中含有.此種成功填法可進一步轉化為既關于中間一行，又關于中間一列對稱的成功填法，其中含有.

對這樣的的成功填法，去掉中間一行與中間一列的所有1，就可得到4個的成功填法，至少有一個其中含有.對這個成功填法，一直重復上面的操作，最終可得到一個的成功填法，其中含有，但中間一行和中間一列全為1，這與成功填法的定義矛盾.

因此，對任意成功填法，其中一定不含有.故成功填法只有1種，即每個方格中均填1.