Question

設過點P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4．
（1）求點P的軌跡M的方程；
（2）過F（2，0）的直線與軌跡M交于A，B兩點，求

FA

•

FB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點P（x，y），點Q與點P關于y軸對稱題設知Q（-x，y），設A（a，0），B（0，b），由

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4，知

x=3(a-x) y-b=-3y ax+by=4

，由此能求出點P的軌跡M的方程．
（2）設過F（2，0）的直線方程為y=kx-2k，聯立

y=kx-2k x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

•

FB

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2），利用韋達定理能求出

FA

•

FB

的取值范圍．

解答：解：（1）∵過點P（x，y）的直線分別與x軸和y軸交于A，B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，
∴Q（-x，y），設A（a，0），B（0，b），
∵O為坐標原點，∴

BP

=（x，y-b），

PA

=（a-x，-y），

OQ

=（-x，y），

AB

=(-a，b)，
∵

BP

=3

PA

且

OQ

•

AB

=4，
∴

x=3(a-x) y-b=-3y ax+by=4

，
解得點P的軌跡M的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設過F（2，0）的直線方程為y=kx-2k，
聯立

y=kx-2k x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

12k2

3k2+1

，x₁x₂=

12k2-3

3k2+1

，

FA

=（x₁-2，y₁），

FB

=（x₂-2，y₂），
∴

FA

•

FB

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）
=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=（1+k²）（

12k2-3

3k2+1

-

24k2

3k2+1

+4）
=

k2+1

3k2+1

=

1

3

+

2

9k2+3

，
∴當k²→∞

FA

•

FB

的最小值→

1

3

；當k=0時，

FA

•

FB

的最大值為1．
∴

FA

•

FB

的取值范圍是（

1

3

，1]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量乘積人取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和向量知識的合理運用．