Question

設(shè)過點(diǎn)P（x，y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

BP

=2

PA

，且

OQ

•

AB

=1，求P點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：通過已知條件設(shè)出A，B坐標(biāo)，求出

AB

=(-

3

2

x，3y)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），利用

OQ

•

AB

=1，求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：由

BP

=2

PA

及A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上知，A(

3

2

x，0)，B（0，3y），

AB

=(-

3

2

x，3y)，由點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱知，Q（-x，y），

OQ

=（-x，y），則

OQ

•

AB

=(-

3

2

x，3y)•(-x，y)=

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．
所以P點(diǎn)的軌跡方程為：

3

2

x2+3y2=1(x＞0，y＞0)．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，注意到向量的坐標(biāo)的求法與向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，是本題的解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，易錯(cuò)點(diǎn)是x，y的范圍．