Question

已知函數(shù)f（x）=

(x-a)2-1，x≥0 -(x-b)2+1，x＜0

，其中a，b∈R．
（Ⅰ）當a＜0時，且f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的表達式；
（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（-1，1）上單調遞減，求b-a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）運用奇函數(shù)的性質f（0）=0，可得a，再求x＜0的解析式，進而得到b=1，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（-1，1）上單調遞減，則有

a≥1 b≤-1 a2-1≤1-b2

，運用不等式的性質，即可得到a=1，b=-1，進而得到b-a．

解答： 解：（Ⅰ）由于f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a²-1=0，
由a＜0，則a=-1，x≥0時，f（x）=（x+1）²-1，
則x＜0，f（x）=-f（-x）=-[（-x+1）²-1]=-（x-1）²+1=-（x-b）²+1，
即有b=1，
故f（x）=

(x+1)2-1，x≥0 -(x-1)2+1，x＜0

；
（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（-1，1）上單調遞減，
則

a≥1 b≤-1 a2-1≤1-b2

，則有a²≥1，b²≥1，a²+b²≥2，
又a²+b²≤2，即有a²+b²=2，即a=1，b=-1，
則有b-a=-2．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的運用，考查不等式的性質，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．