Question

14．如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，P，Q分別是線段AB與CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PQ⊥CD；
（Ⅱ）若DC=BC，線段BD上是否存在點(diǎn)E，使得平面PQE與平面ABC所成的為二面角為直二面角？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)PO、QO，推導(dǎo)出CD⊥平面POQ，由此能證明PQ⊥CD．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，以垂直于BD的直線為x軸，DB為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段BD上存在點(diǎn)E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），使得平面PQE與平面ABC所成的為二面角為直二面角．

解答 證明：（Ⅰ）取BD中點(diǎn)O，連結(jié)PO、QO，
∵在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，
BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
P，Q分別是線段AB與CD的中點(diǎn)．
∴PO⊥CD，OQ⊥CD，
∵PO∩QO=O，∴CD⊥平面POQ，
∵PQ?平面POQ，∴PQ⊥CD．
解：（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，以垂直于BD的直線為x軸，DB為y軸，DA為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
P（0，$\sqrt{2}$，1），Q（1，$\sqrt{2}$，0），
A（0，0，2），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
C（2，2$\sqrt{2}$，0），
設(shè)線段BD上存在點(diǎn)E（0，t，0），0$≤t≤2\sqrt{2}$，使得平面PQE與平面ABC所成的為二面角為直二面角．
$\overrightarrow{PQ}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PE}$=（0，t-$\sqrt{2}$，-1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），
設(shè)平面PQE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=（t-\sqrt{2}）y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{1}{t-\sqrt{2}}$，1），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=2\sqrt{2}b-2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2a+2\sqrt{2}b-2c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
∵平面PQE與平面ABC所成的為二面角為直二面角，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=$\frac{1}{t-\sqrt{2}}+\sqrt{2}$=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴線段BD上存在點(diǎn)E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），使得平面PQE與平面ABC所成的為二面角為直二面角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．