Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）求數列{a_n}前三項之和S₃的值；
（2）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比關系的確定,數列的求和,數列遞推式

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列

分析：（1）由數列的遞推，可求出a₃，進而得到前三項的和；
（2）運用等比數列的定義，求出b_n+1，化簡即可得證；
（3）由（2），運用等比數列的通項公式，再兩邊除以2ⁿ⁺¹，得到等差數列，再由等差數列的通項公式，即可得到數列{a_n}的通項公式．

解答： （1）解：a₁=1，a₂=5，a_n+2=4a_n+1-4a_n．則a₃=4a₂-4a₁=20-4=16，
則S₃=a₁+a₂+a₃=1+5+16=22；
（2）證明：b_n=a_n+1-2a_n，則b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4a_n+1-4a_n-2a_n+1=2a_n+1-4a_n
=2（a_n+1-2a_n）=2b_n，
則數列{b_n}是首項為3，公比為2的等比數列；
（3）解：由（2）得，b_n=b₁•2^n-1=3•2^n-1，
即有a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
即

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
則數列{

an

2n

}是首項為

a1

2

=

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，
則有

an

2n

=

1

2

+

3

4

（n-1）=

3n-1

4

，
則a_n=

3n-1

4

•2n．

點評：本題考查數列的通項的求法，注意構造新數列，考查等比數列的定義，以及等差數列的定義和通項公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．