Question

15．已知從“神十”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為$\frac{1}{3}$，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）記“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）．

Answer 1

分析 （1）四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)，實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)可能為0，1，2，3，4，實(shí)驗(yàn)失敗的次數(shù)可能為4，3，2，1，0，ξ的可能取值為4，2，0．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．
（2）ξ的可能取值為0，2，4．當(dāng)ξ=0時(shí)，不等式為1＞0對(duì)x∈R恒成立，解集為R；當(dāng)ξ=2時(shí)，不等式為2x²-2x+1＞0，解集為R；ξ=4時(shí)，不等式為4x²-4x+1＞0，解集為$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不為R，由此能求出事件A發(fā)生的概率P（A）．

解答 解：（1）四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)，實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)可能為0，1，2，3，4，
相應(yīng)地，實(shí)驗(yàn)失敗的次數(shù)可能為4，3，2，1，0，
所以ξ的可能取值為4，2，0．
$P（{ξ=4}）=C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}{（{\frac{2}{3}}）^0}+C_4^0{（{\frac{1}{3}}）^0}{（{\frac{2}{3}}）^4}=\frac{17}{81}$，
$P（{ξ=2}）=C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}（{\frac{2}{3}}）+C_4^1（{\frac{1}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^3}=\frac{40}{81}$，
$P（{ξ=0}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$．
所以ξ的分別列為：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

期望$E（ξ）=0×\frac{8}{27}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}=\frac{148}{81}$．…（6分）
（2）ξ的可能取值為0，2，4．
當(dāng)ξ=0時(shí)，不等式為1＞0對(duì)x∈R恒成立，解集為R；
當(dāng)ξ=2時(shí)，不等式為2x²-2x+1＞0，解集為R；
ξ=4時(shí)，不等式為4x²-4x+1＞0，解集為$\left\{{x\left|{x=\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，不為R，
所以$P（A）=P（{ξ=0}）+P（{ξ=2}）=\frac{64}{81}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)事件的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．