Question

6．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，則a_n=2n-1．

Answer 1

分析 ${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，
∴n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
故答案為：2n-1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．