Question

在各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1且a₂•a₅=

8

27

（1）求證{a_n}為等比數(shù)列
（2）試問

16

81

是這個等比數(shù)列中的項嗎？如果是，指明是第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將2a_n=3a_n+1化為

an+1

an

=

2

3

，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）求出公比，再由題意和通項公式求出a₁，即可得an=

3

2

•(

2

3

)n-1，把

16

81

代入通項公式求出n即可．

解答： 證明：（1）由題意得，2a_n=3a_n+1，則

an+1

an

=

2

3

，
所以{a_n}為以

2

3

為公比的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）得，q=

2

3

，
又a₂•a₅=

8

27

，所以（a₁•q）•（a₁•q⁴）=

8

27

，
又各項為正數(shù)，所以解得a₁=

3

2

，
則an=

3

2

•(

2

3

)n-1，
令

3

2

•(

2

3

)n-1=

16

81

，得n-1=5，則n=6，
所以

16

81

是這個等比數(shù)列中的項，是第6項．

點評：本題考查了利用等比數(shù)列的證明方法：定義法，以及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，熟練掌握定義和公式是解題的關(guān)鍵．