Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當時，求的單調區(qū)間；

(2)設， 是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設函數(shù)有兩個極值點， ，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，求得的解析式，分別解可得函數(shù)的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間；（2） 在上單調遞增，由在恒成立，求的取值范圍；（3）由是方程的根可得，用表示，令，則，構造函數(shù)，求的導數(shù)，研究其單調性得在上單調遞減， ，可求得的范圍。

（1），

令或，

的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為.

即，所以，

令在上單調遞增，

∴，對恒成立，

,對恒成立，

又 ，當時取等號，

，故.

（3），因為函數(shù)有兩個極值點，所以是方程的兩個根，即，所以是方程的兩個根，

所以有，

∴

令，則，設，

∴，

∴在上單減，∴，

故.