【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xoy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù), ),以坐標原點o為極點,x軸的正半軸為極軸,并取相同的長度單位,建立極坐標系.曲線
(1)若直線l曲線 相交于點 , , ,證明: 為定值;
(2)將曲線 上的任意點 作伸縮變換 后,得到曲線 上的點 ,求曲線 的內(nèi)接矩形 周長的最大值.
【答案】
(1)解:曲線
,
(2)解:伸縮變換后得 : .其參數(shù)方程為: .
不妨設點 在第一象限,由對稱性知:周長為
,( 時取等號)周長最大為8
【解析】(1)由已知把直線的參數(shù)方程代入到圓的方程得到關于t的一元二次方程,借助韋達定理求出關系代入要求的式子即可得到結(jié)果。(2)根據(jù)伸縮變換轉(zhuǎn)化可得出圓的標準方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程因為 A ( m , n ) 在第一象限由對稱性可知周長為 4 ( m + n ) = 4 ( cos θ + sin θ ),整理成同名的三角函數(shù)式借助正弦函數(shù)的最值情況求出周長的最大值。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,半圓的直徑為, 為直徑延長線上的一點, , 為半圓上任意一點,以為一邊作等邊三角形,設 .
(1)當為何值時,四邊形面積最大,最大值為多少;
(2)當為何值時, 長最大,最大值為多少.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某加油站20名員工日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示:
(1)補全該頻率分布直方圖在[20,30)的部分,并分別計算日銷售量在 [10,20),[20,30)的員工數(shù);
(2)在日銷量為[10,30)的員工中隨機抽取2人,求這兩名員工日銷量在 [20,30)的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是____________.
【答案】
【解析】∵圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,∴圓C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意知,直線y=kx-2上至少存在一點A(x0,kx0-2),以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,∴存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2.
∵ACmin即為點C到直線y=kx-2的距離,
∴≤2,解得0≤k≤.∴k的最大值是.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標系中,直線.
(1)若直線與直線平行,求實數(shù)的值;
(2)若, ,點在直線上,已知的中點在軸上,求點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié),在同一時間安排《生活趣味數(shù)學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A、B兩學習小組各有5位同學,每位同學在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數(shù)學》,其余4人選聽《校園舞蹈賞析》;B組2人選聽《生活趣味數(shù)學》,其余3人選聽《校園舞蹈賞析》.
(1)若從此10人中任意選出3人,求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率;
(2)若從A、B兩組中各任選2人,設X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學》的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望E(X).
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【題目】已知向量m (sin ,1), =(1, cos ),函數(shù)f(x)=
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若f(α﹣ )= ,求f(2α+ )的值.
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【題目】研究函數(shù)f(x)= 的性質(zhì),完成下面兩個問題:
①將f(2),f(3),f(5)按從小到大排列為;
②函數(shù)g(x)= (x> 0)的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱,上部為半球的容器(如圖圓柱高為 ,半徑為 ,不計厚度,單位:米),按計劃容積為 立方米,且 ,假設建造費用僅與表面積有關(圓柱底部不計 ),已知圓柱部分每平方米的費用為2千元,半球部分每平方米的費用為2千元,設該容器的建造費用為y千元.
(1)求y關于r的函數(shù)關系,并求其定義域;
(2)求建造費用最小時的 .
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