設M是△ABC內一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(P)=(
1
2
，x，y)則
1
x
+
4
y
的最小值（　�。�
分析：利用數(shù)量積即可得出三角形ABC的面積和x與y的關系式，再利用基本不等式即可得出．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2
3
，化為bc=4．
∴S△ABC=
1
2
bcsin30°=1．
∴f（P）=
1
2
+x+y=1，得x+y=
1
2
．（x＞0，y＞0）．
∴
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)=2(5+
y
x
+
4x
y
)≥2(5+2
y
x
•
4x
y
)=18．當且僅當y=2x=
1
3
時取等號．
∴
1
x
+
4
y
的最小值為18．
故選D．
點評：熟練掌握三角形的面積計算公式、數(shù)量積運算和基本不等式是解題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內一點，且△ABC的面積為1，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f（M）=（
1
2
，x，y），則
1
x
+
4
y
的最小值是（　�。�
A、8B、9C、16D、18

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海模擬）設M是△ABC內一點，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(
1
2
，x，y)，則
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內一點，
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，定義f（x）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MAC，△MAB的面積，若f(Q)=(
1
2
，x，y)，
1
x
+
4
y
=a ， 則
a2+2
a
的取值范圍是
[
163
9
，+∞）
[
163
9
，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是△ABC內一點，且
AB
•
AC
=4
3
，∠BAC=30°，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，若f(M)=(1，x，y)，則
1
x
+
4
y
的最小值（　�。�

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