Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=

π

4

，0＜A＜

π

2

，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，則tanA=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：由a²，b²，c²成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式變形，由cos（A-C）=0得出A與C的關(guān)系式，表示出C，利用內(nèi)角和定理表示出A，求出A的度數(shù)，即可確定出tanA的值．

解答： 解：∵a²，b²，c²成等差數(shù)列，
∴2b²=a²+c²，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sin²B=sin²A+sin²C，
化簡(jiǎn)得：1-cos2B=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

，即cos2A+cos2C=2cos2B=0，
即2cos（A+C）cos（A-C）=0，
∴cos（A-C）=0，即A-C=-

π

2

，
∴C=A+

π

2

，
∴A=π-B-C=

3π

4

-A-

π

2

，即A=

π

8

，
∴tan2A=

2tanA

1-tan2A

=tan

π

4

=1，
整理得：tanA=

2

-1或tanA=-

2

-1（舍去），
則tanA=

2

-1，
故答案為：

2

-1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，二倍角的正切函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．