Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²+ax（a∈R）．
（1）當a=-9時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）當a＜3時，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)φ（x）=-xlnx的圖象有三個不同的交點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）當a=-9時，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3或x=-1，列表討論能求出函數(shù)f（x）的極大值．
（2）利用導數(shù)大于0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）由f（x）=-xlnx，得a=-x²+3x-lnx，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x²+3x-lnx，則h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，列表討論，能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=-9時，由f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）=0，得x=3，x=-1，（2分）
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

所以當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值為5．…（4分）
（2）因為f'（x）=3x²-6x+a，當a＜3時，方程f'（x）=0有相異兩實根為1±

1- a 3

，
令f'（x）＞0，得x＞1+

1- a 3

或x＜1-

1- a 3

，…（7分）
所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為(-∞，1-

1- a 3

)，(1+

1- a 3

，+∞)．…（10分）
（3）由f（x）=-xlnx，得x³-3x²+ax=-xlnx，即a=-x²+3x-lnx，…（12分）
令h（x）=-x²+3x-lnx，則h′(x)=-2x+3-

1

x

=

-2(x-1)(2x-1)

x

，
列表，得

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值 5 4 +ln2	遞增	極大值2	遞減

…（14分）
由題意知，方程a=h（x）有三個不同的根，故a的取值范圍是(

5

4

+ln2，2)．…（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．