Question

已知f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）f（x）在x=1處有極值，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3，求出a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=a-

1

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）由已知得f′（1）=0，f′（x）=a-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，由此分類討論，能求出存在實(shí)數(shù)a=e²，使得f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f（x）=ax-lnx，∴f′(x)=a-

1

x

，
當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x-lnx，∴f（1）=2，
∵f′(x)=2-

1

x

，∴f′(1)=2-

1

1

=1，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-2=f′（1）（x-1），
即x-y+1=0．
（Ⅱ）∵f（x）在x=1處有極值，∴f′（1）=0，
由（Ⅰ）知f′（x）=a-1，∴a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)，f（x）在x=1處有極值，
∴f（x）=x-lnx，令f′(x)=1-

1

x

＞0，解得x＞1或x＜0，
∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）＞0的解集為（1，+∞），
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，
①當(dāng)a≤0時(shí)，∵x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

，舍去．
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，∵∈（0，e]，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
解得a=

4

e

，舍去．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得f（x）在區(qū)間（0，e]的最小值是3．

點(diǎn)評：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．