考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由已知得f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=a-,由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)由已知得f′(1)=0,f′(x)=a-1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-lnx,(x∈(0,e])有最小值3,由此分類討論,能求出存在實(shí)數(shù)a=e
2,使得f(x)在區(qū)間(0,e]的最小值是3.
解答:
解:(Ⅰ)由已知得f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
∵f(x)=ax-lnx,∴
f′(x)=a-,
當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2x-lnx,∴f(1)=2,
∵
f′(x)=2-,∴
f′(1)=2-=1,
∴曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-2=f′(1)(x-1),
即x-y+1=0.
(Ⅱ)∵f(x)在x=1處有極值,∴f′(1)=0,
由(Ⅰ)知f′(x)=a-1,∴a=1,
經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),f(x)在x=1處有極值,
∴f(x)=x-lnx,令
f′(x)=1->0,解得x>1或x<0,
∵f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),∴f′(x)>0的解集為(1,+∞),
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-lnx,(x∈(0,e])有最小值3,
①當(dāng)a≤0時(shí),∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,
f(x)
min=f(e)=ae-1=3,解得a=
,舍去.
②當(dāng)0<
<e時(shí),∵∈(0,e],∴f′(x)<0,
∴f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,f(x)
min=f(e)=ae-1=3,
解得a=
,舍去.
綜上所述,存在實(shí)數(shù)a=e
2,使得f(x)在區(qū)間(0,e]的最小值是3.
點(diǎn)評:本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查推理論證能力,分類討論等綜合解題能力.