已知函數(shù)f(x)=
3
8
x2+lnx+2,g(x)=x.
(Ⅰ)求函數(shù)F(x)=f(x)-2•g(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)-2•g(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零點(diǎn),求t的最大值;
(Ⅲ)若bn=g(n)
1
g(n+1)
(n∈N*),試問(wèn)數(shù)列{bn}中是否存在bn=bm(m≠n)?若存在,求出所有相等的兩項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)約為2.718).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn),數(shù)列的函數(shù)特性
專(zhuān)題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)函數(shù)F(x)=f(x)-2•g(x),代入整理,并求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于0,得F(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(x)在x∈[
2
3
,+∞)上有最小值F(2),且F(2)>0,F(xiàn)(x)在x∈[
2
3
,+∞)上無(wú)零點(diǎn);若函數(shù)F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零點(diǎn),且考慮到F(x)在(0,
2
3
]單調(diào)遞增,在[
2
3
,2]單調(diào)遞減,故只須et
2
3
且F(et)≤0即可;易驗(yàn)證F(e-1)>0,F(xiàn)(e-2)<0;所以,當(dāng)t≤-2且t∈Z時(shí)均有F(et)<0,此時(shí)函數(shù)F(x)在[et,e-1)(t∈Z)上有零點(diǎn),且t的最大值為-2.
(Ⅲ)先證明(1+x)
1
x
<e,即ln(1+x)<x成立; 再確定當(dāng)n≥4時(shí),有
(bn+1)(n+1)(n+2)
(bn)(n+1)(n+2)
<1,所以當(dāng)n≥4時(shí),bn>bn+1,即:b4>b5>b6>…,即可得出結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)由題知:F(x)=
3
8
x2+lnx+2-2x,定義域?yàn)椋?,+∞);
求導(dǎo),得F′(x)=
(3x-2)(x-2)
4x
,令F′(x)=0,得x=
2
3
,或x=3;
∴函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
2
3
],[2,+∞),F(xiàn)(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[
2
3
,2],
即x=
2
3
為F(x)的極大值點(diǎn),x=2為F(x)的極小值點(diǎn);
(Ⅱ)∵F(x)在x∈[
2
3
,+∞)上的最小值為F(2),且F(2)>0;
∴F(x)在x∈[
2
3
,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn);要使函數(shù)F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零點(diǎn),并考慮到F(x)在(0,
2
3
]單調(diào)遞增且在[
2
3
,2]單調(diào)遞減,故只須et
2
3
且F(et)≤0即可;
易驗(yàn)證F(e-1)>0,F(xiàn)(e-2)<0,
∴當(dāng)t≤-2且t∈Z時(shí)均有F(et)<0,此時(shí)函數(shù)F(x)在[et,e-1)(t∈Z)上有零點(diǎn),
即函數(shù)F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零點(diǎn)時(shí),t的最大值為-2.
(3)先證明(1+x)
1
x
<e,即ln(1+x)<x
構(gòu)造函數(shù)h(x)=ln(1+x)-x(其中x>0),則h′(x)=
-x
1+x
<0,
所以函數(shù)h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),因而x>0時(shí),h(x)<h(0)=0,
即:x>0時(shí),ln(1+x)<x成立,所以當(dāng)x>0時(shí),[1+g(x)]
1
g(x)
<e成立; 
因?yàn)閎n=g(n)
1
g(n+1)
,
所以
(bn+1)(n+1)(n+2)
(bn)(n+1)(n+2)
=
n+1
n2
•(1+
1
n
)n
3(n+1)
n2

3(n+1)
n2
<1,得:n2-3n-3>0,結(jié)合n∈N*得:n≥4,
因此,當(dāng)n≥4時(shí),有
(bn+1)(n+1)(n+2)
(bn)(n+1)(n+2)
<1,
所以當(dāng)n≥4時(shí),bn>bn+1,即:b4>b5>b6>…,
又通過(guò)比較b1、b2、b3、b4的大小知:b1<b2<b3<b4,
因?yàn)閎1=1,且n≠1時(shí)bn=g(n)
1
g(n+1)
≠1,所以若數(shù)列{bn}中存在相等的兩項(xiàng),只能是b2、b3與后面的項(xiàng)可能相等,
又b2=b8,b2=3
1
4
>b5=5
1
6
,所以數(shù)列{bn}中存在唯一相等的兩項(xiàng),
即:b2=b8
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題,也考查了數(shù)列與不等式的應(yīng)用,是較難的題目.
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已知?jiǎng)訄AP與圓O1:x2-4x+y2+3=0外切,與直線l:x=-1相切,動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.
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(Ⅱ)通過(guò)(1,0)的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AO,BO所在直線分別與直線y=x+4交于點(diǎn)E、F,求|EF|的最小值.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax(a∈R).
(1)當(dāng)a=-9時(shí),求函數(shù)f(x)的極大值;
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在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=-an+(-1)n
(1)設(shè)bn=
an
(-1)n
,證明{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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工廠的設(shè)備使用一段時(shí)間后,需要更新,但若更新過(guò)早,老設(shè)備的生產(chǎn)潛力未得以完全發(fā)揮就拋棄,易造成損失;若更新過(guò)晚,老設(shè)備生產(chǎn)效率低下,維修費(fèi)用昂貴,也會(huì)造成損失,現(xiàn)有一臺(tái)價(jià)值4000元的設(shè)備,第一年的維修、燃料及動(dòng)力消耗費(fèi)用為320元,以后每一年比上一年增加320元,要使工廠為這臺(tái)設(shè)備支付的年平均費(fèi)用最小,這臺(tái)設(shè)備應(yīng)在使用多少年后更新?

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函數(shù)f(x)=ax-
a
x
-lnx(a∈R),當(dāng)a=
1
2
時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間,若a>
2e
e2+1
,m、n分別為f(x)的極大值和極小值,S=m-n,求S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x-e
x
a
(a>0)

(1)曲線y=f(x)在x=0處的切線恰與直線x-2y+1=0垂直,求a的值;
(2)若x∈[a,2a]求f(x)的最大值;
(3)若f(x1)=f(x2)=0(x1<x2),求證:
x1
x2
e
a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,且過(guò)點(diǎn)A(2,0),
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A且與橢圓的另一交點(diǎn)為B,若|AB|=
4
2
5
,求直線l的傾斜角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x
1-
1-x
(x<0)
ex+a(x≥0)
,要使f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),則實(shí)數(shù)a=
 

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