Question

已知函數(shù)f（x）=

3

8

x²+lnx+2，g（x）=x．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）-2•g（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-2•g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)，求t的最大值；
（Ⅲ）若b_n=g(n)

1

g(n+1)

（n∈N^*），試問(wèn)數(shù)列{b_n}中是否存在b_n=b_m（m≠n）？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)約為2.718）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn),數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)F（x）=f（x）-2•g（x），代入整理，并求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得F（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（x）在x∈[

2

3

，+∞）上有最小值F（2），且F（2）＞0，F(xiàn)（x）在x∈[

2

3

，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；若函數(shù)F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)，且考慮到F（x）在（0，

2

3

]單調(diào)遞增，在[

2

3

，2]單調(diào)遞減，故只須e^t＜

2

3

且F（e^t）≤0即可；易驗(yàn)證F（e^-1）＞0，F(xiàn)（e^-2）＜0；所以，當(dāng)t≤-2且t∈Z時(shí)均有F（e^t）＜0，此時(shí)函數(shù)F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零點(diǎn)，且t的最大值為-2．
（Ⅲ）先證明(1+x)

1

x

＜e，即ln（1+x）＜x成立； 再確定當(dāng)n≥4時(shí)，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，所以當(dāng)n≥4時(shí)，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題知：F（x）=

3

8

x²+lnx+2-2x，定義域?yàn)椋?，+∞）；
求導(dǎo)，得F′（x）=

(3x-2)(x-2)

4x

，令F′（x）=0，得x=

2

3

，或x=3；
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2

3

]，[2，+∞），F(xiàn)（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

2

3

，2]，
即x=

2

3

為F（x）的極大值點(diǎn)，x=2為F（x）的極小值點(diǎn)；
（Ⅱ）∵F（x）在x∈[

2

3

，+∞）上的最小值為F（2），且F（2）＞0；
∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)；要使函數(shù)F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)，并考慮到F（x）在（0，

2

3

]單調(diào)遞增且在[

2

3

，2]單調(diào)遞減，故只須e^t＜

2

3

且F（e^t）≤0即可；
易驗(yàn)證F（e^-1）＞0，F(xiàn)（e^-2）＜0，
∴當(dāng)t≤-2且t∈Z時(shí)均有F（e^t）＜0，此時(shí)函數(shù)F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零點(diǎn)，
即函數(shù)F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零點(diǎn)時(shí)，t的最大值為-2．
（3）先證明(1+x)

1

x

＜e，即ln（1+x）＜x
構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（1+x）-x（其中x＞0），則h′（x）=

-x

1+x

＜0，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，因而x＞0時(shí)，h（x）＜h（0）=0，
即：x＞0時(shí)，ln（1+x）＜x成立，所以當(dāng)x＞0時(shí)，[1+g(x)]

1

g(x)

＜e成立； 
因?yàn)閎_n=g(n)

1

g(n+1)

，
所以

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

3(n+1)

n2

，
令

3(n+1)

n2

＜1，得：n²-3n-3＞0，結(jié)合n∈N^*得：n≥4，
因此，當(dāng)n≥4時(shí)，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，
所以當(dāng)n≥4時(shí)，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，
又通過(guò)比較b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，
因?yàn)閎₁=1，且n≠1時(shí)b_n=g(n)

1

g(n+1)

≠1，所以若數(shù)列{b_n}中存在相等的兩項(xiàng)，只能是b₂、b₃與后面的項(xiàng)可能相等，
又b₂=b₈，b₂=3

1

4

＞b₅=5

1

6

，所以數(shù)列{b_n}中存在唯一相等的兩項(xiàng)，
即：b₂=b₈．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，也考查了數(shù)列與不等式的應(yīng)用，是較難的題目．