Question

已知函數(shù)f(x)＝xln x.

(1)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋x²＋ax＋2有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最大值；

(2)若∀x>0，≤x－kx²－1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

 (1)由題知，g(x)＝xln x＋x²＋ax＋2＝0在(0，＋∞)上有實(shí)根，

即：－a＝ln x＋x＋在(0，＋∞)上有實(shí)根，

令φ(x)＝ln x＋x＋，則φ′(x)＝＋1－＝＝ (x＋2)(x－1)，

易知，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以，－a≥φ(x)_max＝φ(1)＝3，a≤－3.

(2)依題意≤x－kx²－1，kx²≤x－1－ln x，x>0.

所以k≤ (x－1－ln x)

設(shè)g(x)＝x－1－ln x，x>0，g′(x)＝1－，

當(dāng)0<x<1時(shí)g′(x)<0，

當(dāng)x>1時(shí)g′(x)>0，所以∀x>0，g(x)≥g(1)＝0.

所以， (x－1－ln x)≥0，

∴k≤0，即k的取值范圍是(－∞，0]．