Question

已知函數(shù)滿足，對(duì)任意都有，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在實(shí)數(shù)，.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù) 求得；

根據(jù)對(duì)任意，有，確定圖像的對(duì)稱軸為直線，求得；

利用對(duì)任意都有，轉(zhuǎn)化成對(duì)任意成立，解得.

（2）化簡(jiǎn)函數(shù) ，其定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040904551715789493/SYS201404090455502047579878_DA.files/image016.png">，

令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到求解，得，肯定存在性.

試題解析：

（1）由及 ∴      1分

又對(duì)任意，有

∴圖像的對(duì)稱軸為直線，則，∴        3分

又對(duì)任意都有，

即對(duì)任意成立，

∴，故                                   6分

∴                                               7分

（2）由（1）知 ，其定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040904551715789493/SYS201404090455502047579878_DA.files/image016.png">     8分

令

要使函數(shù)在上為減函數(shù)，

只需函數(shù)在上為增函數(shù)，                11分

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得            13分

故存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)      14分

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).