Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，G是BC的中點．AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的動點，且EF∥BC，設AE=x（0＜x＜2），沿EF將梯形ABCD翻折，使使平面AEFD⊥平面EBCF，如圖．
（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以B、C、D、F為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（1）利用面面垂直的性質證線面垂直，由線面垂直⇒線線垂直，再由線線垂直證線面垂直，由線面垂直的性質證得線線垂直；
（2）根據(jù)題意先求得棱錐的高，再根據(jù)體積公式求三棱錐的體積即可．
（3）可利用空間向量求解．根據(jù)條件可得AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF故可建立如圖所示的空間直角坐標系然后求出面DBF和面EBF的法向量則兩個法向量的夾角即為二面角的平面角然后利用向量夾角公式即可求出二面角D-BF-E的余弦值．

解答： （1）證明：作DH⊥EF，垂足H，連結BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，DH?平面AEFD，
∴DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH．
∵EH=AD=

1

2

BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH．
又BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD?平面DBH，∴EG⊥BD．
（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四邊形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D為頂點的三
棱錐D-BCF的高DH=AE=x．
又S_△BCF=

1

2

×BC•BE=

1

2

×4×（4-x）=8-2x，（0≤x≤4）．
∴三棱錐D-BCF的體積f（x）=

1

3

×S_△BFC•DH=

1

3

×S_△BFC×AE=

1

3

×（8-2x）•x=

8x

3

-

2x2

3

，（0≤x≤4）．
（3）f（x）═

8x

3

-

2x2

3

，（0≤x≤4）．
當x=2時，f（x）取最大值

8

3

，
（2）∵AE⊥面平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
故可如圖建立空間坐標系E-xyz
則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）
設平面DBF的法向量為

n1

=（x，y，z）
∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0）
∴

BF

=（-2，3，0），

BD

=（-2，2，2）
則

BF • n1 =0 BD • n1 =0

即

-x+y+z=0 -2x+3y=0

取x=3，則y=2，z=1
∴

n1

=（3，2，1）
平面BCF的一個法向量為

n2

=（0，0，1）
記此二面角的平面角為θ，則

n1 • n2

| n1 |• |n2|

=

1

14

=

14

14

，
∵二面角D-BF-C是鈍二面角
∴此二面角的余弦值為cosθ=-

14

14

點評：本題主要考察了三棱錐體積和二面角的求解．解題的關鍵是在求三棱錐體積時主要是高的求解這要充分分析題中條件找到高或‘等價的高'而對于二面角的求解可采用空間向量的方法即求出二面角的兩個半平面的法向量然后利用向量的夾角公式求出法向量的夾角的余弦值再結合圖形特征和法向量的夾角的余弦值的正負得出二面角的大小是法向量的夾角還是其補角，但此法計算量較大，因此在以后的學習中要加強計算能力的訓練！