已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，若直線與過點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長為定值．

（1）；（2）定值為2，證明見解析．

解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率、長軸與短軸的關(guān)系建立的方程可求得橢圓的方程；；（2）設(shè)，然后用此點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出、的方程，然后根據(jù)直線與圓相切性質(zhì)、平面幾何知識化為的關(guān)系，進(jìn)而確定其為定值．
試題解析：（1）由題意可得，得  ①．
又，即   ②，
解①②，得，
∴橢圓的方程為．
（2）由（1）知，設(shè)，則
直線的方程為，令，得．
直線的方程為，令，得．
設(shè)，則
＝，
，
∴＝．
∵，即，
∴＝，∴，即線段的長為定值2．
考點(diǎn)：1、橢圓的方程及幾何性質(zhì)；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、直線與橢圓的位置關(guān)系；4、定值問題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時(shí)的方程；
（2）若橢圓最圓時(shí)任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點(diǎn)在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，
求證：線段的長為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點(diǎn)（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)．直線與直線分別與軸交于點(diǎn)，試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
（�。┊�(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程;
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn)，且直線MP,NP分別與軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)F(0，1)和直線l1：y＝－1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓圓心為點(diǎn)C.
(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求·的最小值．

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