Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（2）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），則不等式xf（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-2，2）
• B、（-2，0 ）∪（0，2）
• C、（-∞，-2 ）∪（2，+∞）
• D、（-2，0 ）∪（2，+∞）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)單調性的性質

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：構造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，利用導數(shù)得到該函數(shù)的單調區(qū)間，結合該函數(shù)的取值情形，進行求解．

解答： 解：設函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵x＞0，xf′（x）-f（x）＞0，∴
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=

f(x)

x

=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，
∵f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=0．g（-2）=0，
∴當x＜-2時，g（x）＞0，
當-2＜x＜0時，g（x）＜0，
當0＜x＜2時，g（x）＜0，
當x＞2時，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等價于g（x）＞0，
∴當x＜-2或x＞2時，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-2或x＞2}．
故選：B．

點評：本題重點考查了函數(shù)的基本性質，函數(shù)的單調性與導數(shù)之間的關系等知識點，構造函數(shù)是解決本題的關鍵．