精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,點N為CD中點,PA⊥平面ABCD.
(I)求證:CD⊥平面PAN;
(II)若點M為PC中點,AB=1,PA=
3
,求直線AM與平面PCD所成角的正弦值.
分析:(I)要證CD⊥平面PAN,可由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA;△ACD為正三角形,點N為CD中點,得出CD⊥AN,且PA∩AN=A而證出.
(II)過A作AH⊥PN于H,則AH⊥平面PCD,連接MH,則∠AMH為直線AM與平面PCD所成角.在RT△AMH中求解即可.
解答:精英家教網(wǎng)(I)證明:因為四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,所以△ACD為正三角形,所以AC=AD,又因為點N為CD中點,所以CD⊥AN.
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA.PA∩AN=A,∴CD⊥平面PAN.
(II)由(Ⅰ)知,CD⊥平面PAN,CD?平面PCD,∴平面PAN⊥平面PCD,且平面PAN∩平面PCD=PN,
過A作AH⊥PN于H,則AH⊥平面PCD,連接MH,則∠AMH為直線AM與平面PCD所成角.
在RT△PAN中,PA=
3
,AN=
3
2
,由勾股定理得出PN=
15
2
,根據(jù)面積相等法得AH=
PA•AN
PN
=
15
5

在RT△PAC中,AM=
1
2
PC=
1
2
PA2+AC2
=1,
在RT△AMH中,sin∠AMH=
AH
AM
=
15
5
1
=
15
5
.即直線AM與平面PCD所成角的正弦值是
15
5
點評:本題考查直線和平面位置關(guān)系的判斷,線面角求解.考查空間想象、推理論證、轉(zhuǎn)化、計算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,E、F分別是AB與PD的中點.
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在菱形ABCD中,MA⊥平面ABCD,且四邊形ADNM是平行四邊形.
(1)求證:AC⊥BN;
(2)當點E在AB的什么位置時,使得AN∥平面MEC,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中點,MA⊥平面ABCD,且在矩形ADNM中,AD=2,AM=
3
7
7

(1)求證:AC⊥BN;
(2)求證:AN∥平面MEC;
(3)求二面角M-EC-D的大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖,在菱形ABCD中,E是AB的中點,且DE⊥AB.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若菱形的邊長為2,求菱形的面積.

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