如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AB的中點(diǎn),MA⊥平面ABCD,且在矩形ADNM中,AD=2,AM=
3
7
7

(1)求證:AC⊥BN;
(2)求證:AN∥平面MEC;
(3)求二面角M-EC-D的大。
分析:(1)通過(guò)連接BD,證明AC⊥平面NDB,利用BN?平面NDB,從而證明AC⊥BN;
(2)利用CM與BN交于F,連接EF.證明AN∥EF,通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC;
(3)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)平面MEC的法向量為
n
=(x,y,z).利用
CE
•n=0
EM
•n=0.
求出向量
n
,求出平面ADE的法向量
m
,利用cosθ=
m
n
|
m
||
n
|
,求出二面角M-EC-D的大小.
解答:(共14分)
解:(1)證明:連接BD,則AC⊥BD.
由已知DN⊥平面ABCD,
因?yàn)镈N∩DB=D,
所以AC⊥平面NDB.…(2分)
又因?yàn)锽N?平面NDB,
所以AC⊥BN.…(4分)
(2)CM與BN交于F,連接EF.
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形,
所以F是BN的中點(diǎn).
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),
所以AN∥EF.…(7分)
又EF?平面MEC,AN?平面MEC,
所以AN∥平面MEC.…(9分)
(3)由于四邊形ABCD是菱形,E是AB的中點(diǎn),可得DE⊥AB.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0),E(
3
,0,0)
,C(0,2,0),
M(
3
,-1,
3
7
7
)
.
CE
=(
3
,-2.0)
,
EM
=(0,-1,
3
7
7
)
.…(10分)
EM
=(0,-1,
3
7
7
)

設(shè)平面MEC的法向量為
n
=(x,y,z).
CE
•n=0
EM
•n=0.

所以
3
x-2y=0
y-
3
7
7
z=0.

令x=2.
所以
n
=(2,
3
,
21
3
)
.…(12分),
又平面ADE的法向量
m
=(0,0,1),
所以.cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
||
n
|
=
1
2

 所以二面角M-EC-D的大小是60°.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判斷,二面角的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,E、F分別是AB與PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求證:AF∥平面PEC;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在菱形ABCD中,MA⊥平面ABCD,且四邊形ADNM是平行四邊形.
(1)求證:AC⊥BN;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí),使得AN∥平面MEC,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖,在菱形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),且DE⊥AB.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若菱形的邊長(zhǎng)為2,求菱形的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,點(diǎn)N為CD中點(diǎn),PA⊥平面ABCD.
(I)求證:CD⊥平面PAN;
(II)若點(diǎn)M為PC中點(diǎn),AB=1,PA=
3
,求直線AM與平面PCD所成角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案