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1.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)設(shè)bn=an+1-an,證明{bn}是等差數(shù)列;
(2)令cn=1an+5n,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)欲證明{bn}是等差數(shù)列,只需推知該數(shù)列的首項(xiàng)和公差即可;
(2)由(1)可求得bn=2n,繼而可知an=2n-1,從而可得{cn}的通項(xiàng)公式,然后利用裂項(xiàng)相消法即可求得答案.

解答 證明:(1)由an+2=2an+1-an+2得an-an+1=an+1-an+2+2,即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列;
解:(2)由(1)得,bn=1+2(n-1)=2n-1,
由bn=an+1-an得,an+1-an=2n-1,
則a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an-an-1=2(n-1)-1,
所以,an-a1=1+3+5+…+2(n-1)-1=n11+2n32=(n-1)2,
又a1=1,
所以{an}的通項(xiàng)公式an=(n-1)2+1=n2-2n+2.
所以cn=1an+5n=1n2+3n+2=1n+1n+2=1n+1-1n+2,
所以S1=c1=16
Sn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2n+2

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和,考查等差關(guān)系的確定,突出考查裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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