Question

6．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x取值；
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象可以由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的最值可確定答案．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2k$π+\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為：2+2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\sqrt{2}$倍，可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象．
再把所得圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的最值和二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．三角函數(shù)的公式比較多，要強(qiáng)化記憶．