Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），g（x）=5ln（x+b）+

1

2

x²-3x，函數(shù)f（x）在x=1與x=2處取得極值．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若φ（x）=f（x）-g（x），求證：當(dāng)x∈（-1，+∞）時，φ（x）≤0恒成立；
（3）證明：若x＞0，y＞0，則xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=1與x=2是f（x）的一個極值點，可得f'（1）=0，f′（2）=0，從而可求a，b的值；
（2）先化簡φ（x）=ln（x+1）-x，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系，求出φ（x）的最大值，即可得證
（3）利用（2）的結(jié)論，以及作差法比較即可

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），
∴f′（x）=x-（4+a）+

6

x+b

，
∵函數(shù)f（x）在x=1與x=2處取得極值．
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
∴

1-(4+a)+ 6 1+b =0 2-(4+a)+ 6 2+b =0

解得

a=0 b=1

，
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1），g（x）=5ln（x+1）+

1

2

x²-3x，
∴φ（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1）-5ln（x+1）-

1

2

x²+3x=ln（x+1）-x
∴函數(shù)的定義域為（-1，+∞）
∴φ′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
令φ′（x）=0，解得x=0，
當(dāng)φ′（x）＞0時，即-1＜x＜0時，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)φ′（x）＜0時，即x＞0時，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=0時，函數(shù)φ（x）有極大值，φ（0）=0，
函數(shù)的極大值也是函數(shù)的最大值，
∴當(dāng)x∈（-1，+∞）時，φ（x）≤0恒成立；
（3）證明：xlnx+ylny-（x+y）ln

x+y

2

=x（lnx-ln

x+y

2

）+y（lny-ln

x+y

2

）
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

，
=-xln

x+y

2x

-ln

x+y

2y

，
=-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）
由（2）知，-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）＞-x•

y

2x

-y•

x-y

2y

=0
∴若x＞0，y＞0，則xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識及不等式恒成立問題的證明，考查分類討論數(shù)學(xué)思想及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用能力，屬難題