Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點(diǎn)是x=1和x=-1．
（1）證明：當(dāng)x₁，x₂∈[-2，2]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（2）若過點(diǎn)A（1，t）可作曲線y=f（x）的三條切線，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點(diǎn)是x=1和x=-1，建立方程組，即可求得a，b的值；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可．
（2）可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)M（x₀，y₀），然后用兩種方式表示出斜率，建立關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程2x₀³-3x₀²+t+3=0，再借助函數(shù)的單調(diào)性與極值確定其有三個(gè)解的條件即可．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3ax²+4bx-3
∵函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點(diǎn)是x=1和x=-1．
∴f′（1）=0，且f′（-1）=0  
∴

3a+4b-3=0 3a-4b-3=0

，
∴a=1，b=0
此時(shí)f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
可知x=1和x=-1是函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點(diǎn)；
∴f（x）=x³-3x，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
當(dāng)-2≤x＜-1或1＜x≤2時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在區(qū)間[-2，-1）和（1，2]上為增函數(shù)，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4．
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線方程為y=x³-3x，∴點(diǎn)A（1，t）不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x₀，y₀），切線的斜率為3（x₀²-1）=

x03-3x0-t

x0-1

．（左邊用導(dǎo)數(shù)求出，右邊用斜率的兩點(diǎn)式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+t+3=0．
∵過點(diǎn)A（1，t）可作曲線的三條切線，故此方程有三個(gè)不同解，下研究方程解有三個(gè)時(shí)參數(shù)所滿足的條件．
設(shè)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3，則g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3的極值點(diǎn)為x₀=0，x₀=1，
∴關(guān)于x₀方程2x₀³-3x₀²+t+3=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，
解得-3＜t＜-2．
故所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍是-3＜t＜-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)極值存在的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)切線的問題，本題涉及到了求導(dǎo)公式，求最值的方法，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，綜合性強(qiáng)，難度較大．