Question

某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數(shù)列．與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政府，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利．這就是說，如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…．以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．
（Ⅰ）寫出T_n與T_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式；
（Ⅱ）求證T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數(shù)列，{B_n}是一個等差數(shù)列．

Answer 1

解：（I）根據(jù)在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，我們有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（II）T₁=a₁，對n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得=，①
在①式兩端同乘1+r，得．②
②-①，得，
即T_n=（1+r）ⁿ--
如果記A_n=，B_n=--，則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以（1+r）為首項，以1+r（r＞0）為公比的等比數(shù)列；{B_n}是以為首項，-為公差的等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）根據(jù)在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變成a₂（1+r）^n-2，…，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)已知中Tn所表示的實際意義，根據(jù)T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額，及儲備金總額的計算方法計算T_n，然后對其進(jìn)行分解，并對分解結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的定義進(jìn)行分析，不難得到結(jié)果．
點評：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查錯位相減法的運用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建數(shù)列模型．