Question

【題目】已知，若f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，則a的取值范圍是(　　)

A. (1，＋∞) B. [1，＋∞)

C. (2，＋∞) D. [2，＋∞)

Answer 1

【答案】B

【解析】f(x)≥2lnx在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立．

設(shè)，

則.

若1,即,則,函數(shù)g(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),又g(1)=0，

∴f(x)2lnx在[1,+∞)上恒成立；

若>1,即0<a<1,當(dāng)x∈(0,1),( ,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù)。

當(dāng)x∈(1, )時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù)。

∴g(x)在[1,+∞)上的最小值為g().

∵g(1)=0,∴g()<0，不合題意；

若<1,即a>1,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù)。

∴g(x)在[1,+∞)上的最小值為g(1).

∵g(1)=0,∴f(x)2lnx在[1,+∞)上恒成立。

綜上,a的取值范圍是[1,+∞).

故選：B.