Question

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=2

2

，求△ABC面積S_△ABC最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）化簡整理原式，利用兩角和公式可求得sin（2A-

π

6

），進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理公式求得bc的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinA（

3

cosA+sinA）=

3

2

．
∴

3

sinAcosA+sin²A=

3

2

，
∴

3

2

sin2A-

1

2

cos2A=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得a²=b²+c²-bc=8，
又b²+c²≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號，
∴bc≤8，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤2

3

，
∴三角形ABC的面積的最大值為2

3

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．注重了對學(xué)生綜合知識的靈活運(yùn)用的考查．