已知
a
=（2
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=
a
•
b

（1）求y=f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c，若f（A）=2，sinB=3sinC，△ABC面積為
3
3
4
．求邊長a．
考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，整理后化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍確定出y的值域即可；
（2）由f（A）=2，求出A的度數(shù)，利用正弦定理化簡sinB=3sinC，再利用三角形面積公式，由已知面積求出b與c的值，即可確定出a的值．
解答： 解：（1）f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
π
6
）+1，
∴y=2sin（2x+
π
6
）+1，
∵x∈[0，
π
2
]，即2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴-
1
2
≤sin（2x+
π
6
）≤1，
∴0≤y≤3；
（2）∵f（A）=2，
∴2sin（2A+
π
6
）=1，即sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
解得：A=0（舍去）或A=
π
3
，
∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理化簡得：b=3c①，
∵△ABC面積為
3
3
4
，
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc=
3
3
4
，即bc=3②，
由①和②解得：b=3，c=1，
∵a2=b2+c2-2bccosA=9+1-3=7，
∴a=
7
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x2-x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜1的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，男女生各抽取多少名才符合抽樣要求？
（2）隨機抽出8位，他們的數(shù)學分數(shù)．物理分數(shù)對應如下表：
①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，在該班隨機調(diào)查一位同學，他的數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率；
學生編號12345678
數(shù)學分數(shù)x6065707580859095
物理分數(shù)y7277808488909395
②根據(jù)上表數(shù)據(jù)用變量y與x的相關系數(shù)或散點圖說明物理成績y與數(shù)學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），如果不具有線性相關性，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+x2．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-3x的極值；
（Ⅱ）設f（x）=2f（x）-3x2-kx∈R，若函數(shù)f（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且滿足2x0=m+n，問：函數(shù)f（x）在（x0，F(xiàn)（x0）處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（2-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象（不需列表）；
（3）討論方程f（x）-k=0的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C過點P（
2
2
，
2
2
），且與圓M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設Q為圓C上的一個動點，求
PQ
•
MQ
的最小值；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

f（x）=xk+2bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=ax（a＞0，a≠1）．
（1）若2b+c=1，且f（1）=g（
1
2
），求a的值；
（2）若k=2，b≥0記函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為M，最小值為N，當M-N=4時，求b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實數(shù)a，使得對任意實數(shù)x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]滿足g（x1）•g（x2）=p，且滿足該等式的p的值唯一，若存在，求出所有符合條件的a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知⊙C的圓心為（3，1），且與y軸相切．若⊙C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的圖象一個最低點為M（
5π
8
，-2），相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值，最小值及相應的x的值．

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