(本小題滿分14分)已知f(x)=ln(1+x)-x.
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)數(shù)列{an}滿足:an+1= 2f' (an) +2,且a1=2.5,= bn,
⑴數(shù)列{ bn+}是等比數(shù)列    ⑵判斷{an}是否為無窮數(shù)列。
(Ⅲ)對nN*,用⑴結(jié)論證明:ln(1++)<;
(Ⅰ)極大值為f(0)=0,也是所求最大值;
(Ⅱ)(1)略
(2)數(shù)列{an}為無窮數(shù)列,證明略。
(Ⅲ)ln(1++)<,證明略。
x>-1, f'(x)= -1=,
x
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)

極大值

∴極大值為f(0)=0,也是所求最大值;……………………4分
(Ⅱ)an+1=,∴an+1-1=,∴=-1-,……………………5分
bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+="1,"
∴數(shù)列{ bn+}是首項為1,公比為-2的等比數(shù)列,…………………7分
bn+=(-2)n-1, ……………………8分
an=+1=+1,……………………9分
明顯a1=2.5>-1,n≥2時(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立,
∴數(shù)列{an}為無窮數(shù)列。……………………11分
(Ⅲ)由⑴ln(1+x) ≤x,∴l(xiāng)n(1++)< ln(1+)3……………………12分
="3" ln(1+)≤3×=成立。        ………14分
練習冊系列答案
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