【題目】如圖所示，在三棱錐中，平面，，，、分別為線段、上的點，且，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：(Ⅰ)由平面，證得，再由為等腰直角三角形，得到，即可利用線面垂直的判定定理，證得平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，求得平面的法向量為，又平面的法向量可取，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

試題解析：

(Ⅰ)證明：由平面，平面，故

由，得為等腰直角三角形，故

又，故平面．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，為等腰直角三角形，

過作垂直于，易知又已知，故

以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則

則有，．

設平面的法向量為，則有

，可取；

因為平面，所以平面的法向量可取．

則．

而二面角為銳二面角，故其余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.

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【題目】(1)求函數(shù)的零點個數(shù)；

(2)證明：當，函數(shù)有最小值，設的最小值為，求函數(shù)的值域.

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【題目】設函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”．若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是

A. （﹣∞，ln2﹣1） B. （﹣∞，ln2﹣1]

C. （1﹣ln2，+∞） D. [1﹣ln2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交橢圓于兩點，是軸上的點，若是以為斜邊的等腰直角三角形， 求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，點的坐標為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸，選擇相同的單位長度建立極坐標系，圓極坐標方程為.

（Ⅰ）當時，求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與圓的交點為、，證明：是與無關的定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了檢驗學習情況，某培訓機構于近期舉辦一場競賽活動，分別從甲、乙兩班各抽取10名學員的成績進行統(tǒng)計分析，其成績的莖葉圖如圖所示（單位：分），假設成績不低于90分者命名為“優(yōu)秀學員”.

（1）分別求甲、乙兩班學員成績的平均分（結果保留一位小數(shù)）；

（2）從甲班4名優(yōu)秀學員中抽取兩人，從乙班2名80分以下的學員中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）若，且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線，求實數(shù)的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意實數(shù)，函數(shù)在上總有零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,…8,其中為標準，為標準. 已知甲廠執(zhí)行標準生產該產品，產品的零售價為6元/件; 乙廠執(zhí)行標準生產該產品，產品的零售價為元/件，假定甲, 乙兩廠的產品都符合相應的執(zhí)行標準.

（Ⅰ）已知甲廠產品的等級系數(shù)的概率分布列如下所示：

5

6

7

8

0.4

b

0.1

且的數(shù)學期望, 求a,b的值;

（Ⅱ）為分析乙廠產品的等級系數(shù)，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下:

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)的數(shù)學期望；

（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由.

注: ①產品的“性價比”=；②“性價比”大的產品更具可購買性.

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