Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后，分、及三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號的變化，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）原命題等價于，令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ），定義域為，且.

①當時，令，得.

若，；若，.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

②當時，對任意的，，

此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

③當時，令，得.

若，；若，.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）由即為，令，

則，

令，則，令，得.

當時，，當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

，

當時，，當時，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以，函數(shù)的最小值為，.

因此，實數(shù)的取值范圍是.