Question

如圖，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點M（2，0）的動直線l與C相交于A，B兩點．過A，B分別作C的切線交于點Q，當(dāng)AF與x軸垂直時，直線l的斜率為-2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)△AFB和△QFB的面積相等時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出AF與x軸垂直時A點的坐標(biāo)，結(jié)合M（2，0），由直線l的斜率為-2求得p的值，則拋物線C的方程可求；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把點的橫坐標(biāo)用縱坐標(biāo)表示，再設(shè)出過A點的切線方程，和拋物線聯(lián)立后由判別式等于0得到切線的斜率與A點縱坐標(biāo)的關(guān)系，把切線AQ的方程用A點坐標(biāo)表示，同理得到BQ的方程，聯(lián)立兩切線方程求得Q的坐標(biāo)，然后分AB與x軸垂直和不垂直兩種情況討論．當(dāng)AB與x軸垂直時得出矛盾式子，當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)出AB方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，在求出BF的方程，由點到直線的距離公式求出A，Q到BF的距離，由面積相等得到關(guān)系式，求出直線的斜率，則直線l的方程可求．

解答： 解：（1）當(dāng)AF與x軸垂直時，A（

p

2

，p），
又M（2，0），
則直線l的斜率k=

p

p 2 -2

=-2，解得：p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1=

y12

4

，x2=

y22

4

．
過點A（x₁，y₁）的切線的斜率為k₁，則切線方程為y=k1(x-

y12

4

)+y1，
聯(lián)立拋物線方程得，k1y2-4y+4y1-k1y12=0．由△=16-4k1(4y1-k1y12)=0，得k1=

2

y1

．
故l_AQ：y=

2

y1

(x-

y12

4

)+y1，即y₁y=2（x+x₁）．同理l_BQ：y₂y=2（x+x₂）．
聯(lián)立方程組

y1y=2(x+x1) y2y=2(x+x2)

，得

x= y1y2 4 y= y1+y2 2

 （*）．
①當(dāng)直線AB垂直于x軸時，求得S△AFB=2

2

，
此時由點A(2，2

2

)，B（2，-2

2

）及（*）求得Q（-2，0），
故S△QFB=3

2

．不滿足S_△AFB=S_△QFB；
②當(dāng)直線AB不與x軸垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2=4x

，得ky²-4y-8k=0．
y1+y2=

4

k

，y1y2=-8．
由（*）式可得Q（-2，

2

k

）．
由F（1，0），B（

y22

4

，y2）得直線BF的方程為y=

4y2

y22-4

(x-1)．
即

4y2

y22-4

x-y-

4y2

y22-4

=0．
則A（

y12

4

，y1）到直線BF的距離為d1=

| 4y2 y22-4 • y12 4 -y1- 4y2 y22-4 |

( 4y2 y22-4 )2+1

．
Q（-2，

2

k

）到直線BF的距離為d2=

| -8y2 y22-4 - 2 k - 4y2 y22-4 |

( 4y2 y22-4 )2+1

．
由△AFB和△QFB的面積相等，得d₁=d₂，
即|

4y2

y22-4

•

y12

4

-y1-

4y2

y22-4

|=|

-8y2

y22-4

-

2

k

-

4y2

y22-4

|．
顯然A，Q在直線BF的兩側(cè)，
則

4y2

y22-4

•

y12

4

-y1-

4y2

y22-4

=

8y2

y22-4

+

2

k

+

4y2

y22-4

．
化簡得，(y1-y2)(y1y2+4)=12y2+

2

k

(y22-4)，
將y₁y₂=-8和y1=-

8

y2

代入上式得，(y22-4)(

4

y2

+

1

k

)=0．
故

4

y2

+

1

k

=0或y22-4=0．
當(dāng)

4

y2

+

1

k

=0時，

4

y2

=-

1

k

=-

y1+y2

4

，得-16=y1y2+y22=-8+y22．
∴y22=-8（舍去）．
當(dāng)y22-4=0時，得B（1，2）或B（1，-2），
故得k=±2．
即l：2x-y-4=0或2x+y-4=0．
綜上，直線l的方程為2x-y-4=0或2x+y-4=0．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．