Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，且過點(diǎn)A（

2

，

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q．取點(diǎn)B（0，2

2

），連接BQ，過點(diǎn)B作BQ的垂線交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)．試判斷直線PE與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）根據(jù)橢圓的焦距為4，得到c=2，點(diǎn)A（

2

，

3

）代入橢圓方程，兩式聯(lián)解即可得到a²=8且b²=4，從而得到橢圓C的方程；
（II）由題意得E（x₀，0），設(shè)D的坐標(biāo)為（d，0），由BD⊥BQ，得dx₀+8=0，從而算出d=-

8

x0

，因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，得點(diǎn)E的坐標(biāo)，直線PE的斜率，結(jié)合點(diǎn)P是橢圓C上的點(diǎn)化簡，從而得到直線PE的方程，與橢圓C的方程聯(lián)解可得△=0，從而得到方程組有唯一解，由此即得直線PE與橢圓C相切．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)，得

a2=b2+4 2 a2 + 3 b2 =1

，（2分）
解得

a=2 2 b=2

，故橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
離心率e=

c

a

=

2

2

．（5分）
（Ⅱ）由題意知點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，0），
設(shè)D（d，0），則

BD

=（d，-2

2

），

BQ

=（x₀，-2

2

），
由BD⊥BQ，得

BD

•

BQ

=0，∴dx₀+8=0，∴d=-

8

x0

．（7分）
由點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，得點(diǎn)E（

8

x0

，0）．（8分）
直線PE的斜率為

x0y0

x02-8

因點(diǎn)P在橢圓C上，故x02+2y02=8．
于是直線PE的斜率為-

x0

2y0

，其方程為y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

）．（10分）
代入橢圓方程，利用x02+2y02=8，化簡得x2-2x0x+x02=0．（12分）
因△=0，故方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，所以直線PE與橢圓C相切．（13分）

點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦距和橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)，求橢圓的方程并由此討論直線QG與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．